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“Estado da Arte”: Mecânica Quântica

Epistemologia e Ciência | 16/11/2015 | | IFE CAMPINAS

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O programa Estado da Arte é produzido e apresentado por Marcelo Consentino, presidente do IFE e editor da revista Dicta & Contradicta. A cada edição três estudiosos põem em foco questões seminais da história da cultura, trazendo à pauta temas consagrados pela tradição humanista.
A seguir apresentamos a edição que foi ao ar em 07 de maio de 2015

Mecânica Quântica

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Ao fim do século XIX um jovem alemão, contemplando a carreira acadêmica, foi desaconselhado a se empenhar na física. À época o edifício da mecânica clássica erguido por Newton, Maxwell e outros parecia tão bem acabado, que cientistas como Lord Kelvin acreditaram que todas as grandes ideias da física já haviam sido descobertas, só restando trabalhar adornos e pormenores. Por sorte o estudante recusou o conselho e em 1900, já professor de física em Berlim, diria a seu filho que fez uma descoberta tão importante quanto as de Newton. Por mais que soasse grandiloquente, Max Planck falava a pura verdade. Buscando sair de um dilema em relação ao fenômeno da radiação, ele sugeriria que a emissão ou absorção subatômica se dá na forma de quantidades discretas de energia ou quanta.

A mecânica quântica descreve um mundo fantástico e desconcertante, onde uma partícula elementar parece ora se propagar como uma onda, ora surgir em dois lugares ao mesmo tempo, ora desaparecer em um e reaparecer em outro, ou mesmo interagir com uma outra partícula à distância, um fenômeno que o próprio Einstein – autor de um passo decisivo na teoria quântica ao demonstrar que também a luz é composta por quanta, ou fótons – previu em hipótese, mas que preferiu rejeitar como “assustador demais” para ser validado por um físico. As teorias sobre porque as coisas são assim variam das mais extravagantes, como a de uma pluralidade de mundos simultâneos, às mais prosaicas, como uma falha nos nossos cálculos, e não surpreende que o físico teórico Richard Feynman dissesse: “creio que posso afirmar com segurança que ninguém entende a mecânica quântica”.

Apesar disso, o aparato matemático quântico ainda é incomparável na sua capacidade de previsão, cada dia mais precisa, do comportamento das partículas elementares. E malgrado todos os desafios à nossa lógica ordinária e todas as controvérsias sobre porque o universo microscópico é assim, os resultados de laboratório só fazem confirmar: ele é assim – até que se prove o contrário, a matéria da qual todas as coisas são feitas é assim: fantástica e desconcertante.


Convidados

– Maria Cristina Batoni Abdalla: professora de Teoria Geral das Partículas e Campos da Universidade Estadual Paulista e autora de O Discreto Charme das Partículas Elementares.

– Osvaldo Pessoa: professor de História e Filosofia da Ciência da Universidade de São Paulo e autor de Conceitos de Física Quântica.

– Walter Pedra: professor do Departamento de Física Matemática da Universidade de São Paulo e coordenador do grupo de pesquisa de “Termodinâmica de Sistemas Quânticos de Corpos Não-Simétricos”.


Referências

  • Teoria Quântica (Quantum Theory – A Very Short Introduction) de John Polkinghorne (L&PM Pocket).
  • A Realidade Quântica (Quantum Reality – Beyond the New Physics) de Nick Herbert (Ed. Francisco Alves).
  • Dance of the Photons – From Einstein to Quantum Teleportation de Anton Zeilinger (Farrar, Straus and Giroux).
  • Teoria Quântica – Estudos Históricos e Implicações Culturais organizado por O. Freire Jr., O. Pessoa Jr. e J.L. Bromberg (Eduebp).
  • O Discreto Charme das Partículas Elementares de Maria Cristina Abdalla (Unesp).
  • “Fisica Quantistica” na Enciclopedia Filosofica Bompiani.
  • Quantum Mechanics” na Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • Les indispensables de la mécanique quantique de Roland Omnés (Odile Jacob).
  • Foundation of Quantum Mechanics organizado por B. D’Espagnat (Academic Pr.).
  • Quantum Theory and Measurement de A. Wheeler e W.H. Zurek (Princenton University Press).
  • The Conceptual Development of Quantum Mechanics de Max Jammer (McGraw Hill)
  • Mysteris, Puzzles and Paradoxes in Quantum Mechanics organizado por T.J. Coutts (AIP Conference Proceedings).
  • Lectures on Quantum Mechanics” videoconferência de Leonard Susskind.
  • O Problema da Interpretação da Mecânica Quântica” videoconferência de Walter Pedra.

Produção e apresentação
Marcelo Consentino

Produção técnica
Jukebox

Fonte: http://oestadodaarte.com.br/mecanica-quantica/

Considerações sobre a filosofia da ciência (por Gustavo Bravo)

Epistemologia e Ciência | 25/06/2015 | | IFE CAMPINAS

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Na sociedade em que vivemos, nenhuma forma de conhecimento tem um peso tão grande quanto o da ciência. Classificar qualquer informação como sendo um dado científico é suficiente para que esse dado seja tratado na esfera pública como verdadeiro. Ciência e verdade são conceitos profundamente interligados em nosso senso comum. Temos muitos motivos para estabelecer essa associação: a capacidade de prever fenômenos de diversos tipos, as incontáveis realizações e inovações técnicas propiciadas pela química, a física e a medicina, a capacidade de explicação para eventos e processos que eram totalmente desconhecidos, e muitas outras coisas.

Mas se a eficácia dos métodos de previsão e transformação da realidade material empregada pelas diversas ciências é em larga medida incontestável, o estatuto propriamente epistemológico das ciências é bastante problemático. Ao dizer que o “estatuto epistemológico” da ciência é problemático, quero dizer que as relações entre ciência e verdade, bem como aquilo que torna a ciência natural um conhecimento diferente de outras formas de conhecimento é matéria de controvérsia entre os especialistas no assunto e que a imagem do mundo que a ciência nos mostra não está sujeita a uma única interpretação. Fazendo um panorama de alguns problemas levantados por filósofos da ciência, pretendo evidenciar que, apesar do sucesso pragmático da imagem científica do mundo, existem muitas questões complexas ainda não resolvidas em torno do conhecimento científico.

Uma primeira observação, feita por filósofos da ciência como Alan Chalmers (1939 – ), é que não basta apenas dizer que a ciência “funciona”, logo, ela é verdadeira. É preciso ter em mente que teorias erradas podem “funcionar”. A teoria geocêntrica (que afirmava ser a Terra o centro do universo) de Ptolomeu explicava e era capaz de dar conta de algumas das regularidades observadas na abóbada celeste, entretanto, ela estava errada e viria a ser substituída pela teoria heliocêntrica de Copérnico e Galileu. Mas não seria apenas o caso de mais observação, de mais capacidade explicativa, para corrigir a teoria? Acontece que nada exclui a possibilidade de duas teorias incompatíveis possuírem alto poder preditivo e explicativo para os mesmos fenômenos. No que diz respeito a observação, é interessante notar que observações feitas com propósito científico nunca são “puras”, independentes das teorias que as orientam, pois a própria seleção dos fatores e propriedades relevantes a serem observados e mensurados dependem de algum tipo de teoria – ainda que não muito desenvolvida – subjacente a prática observacional. No caso das realizações técnicas grandiosas, elas não são suficientes para provar que teorias científicas empregadas na sua realização são verdadeiras. Provavelmente os egípcios não possuíam os conhecimentos de física, arquitetura e engenharia que nós possuímos hoje, entretanto, construíram as pirâmides, que com toda certeza são algumas das mais impressionantes realizações arquitetônicas de todos os tempos. A questão sobre a “verdade” das teorias não pode ser resolvida mediante apelos simplistas sobre a eficácia técnica e/ou preditiva.

Ao longo do século XX, apoiado por considerações retiradas da história da ciência, Thomas Kuhn (1922 – 1996) defendeu – grosso modo ­– que aquilo que consideramos ciência hoje não foi sempre assim e que a ideia de que o conhecimento científico progride rumo a uma adequação cada vez mais exata com a realidade é um erro. Segundo Kuhn, os pesquisadores que partilham de pressupostos teóricos comuns e que orientam a sua atividade seguindo um programa com regras bem estabelecidas operam dentro de um paradigma, e a história da ciência é uma constante substituição de paradigmas por outros, sem que haja uma base puramente racional para afirmarmos que um paradigma é superior a outro. É o pertencimento a um paradigma estável e razoavelmente coerente que configura e diferencia o que é ciência do que não é. Neste sentido, a ciência aristotélica medieval não era pseudociência ou menos ciência do que a teoria da relatividade de Einstein, era apenas um paradigma diferente e incomensurável em relação a esta. Os critérios que fazem com que um paradigma seja adotado ou rejeitado sofrem influências de ordem social, como as necessidades econômicas e materiais da sociedade em questão ou o valor que se atribui a resolução de determinados problemas em vez de outros. A ciência possui períodos relativos de estabilidade assim como alguns períodos de crise, no qual alguns modelos teóricos e práticas são postos em cheque e são substituídos por outros.

Ainda que não concordemos com as teses elaboradas por Kuhn em A estrutura das Revoluções Científicas, seu relato da história da ciência nos faz perder o preconceito ingênuo de que a ciência naturalmente se desenvolve rumo a uma concepção cada vez mais verdadeira da realidade. A filosofia descritiva da ciência de Kuhn abriu o campo de investigações para a sociologia do conhecimento científico, uma disciplina voltada para a investigação das condições sociais da produção de conhecimentos científicos e que conta com nomes como Bruno Latour (1947 – ) e David Bloor (1942 – ).

Apesar das dificuldades de critérios de separação entre ciência e não ciência (o famoso problema da demarcação), um ponto relativamente pacífico é que teorias científicas são construções humanas que explicam e preveem eventos e empregam uma linguagem própria que carrega em si um sentido. Essas características colocam um problema clássico na filosofia, mas que ganha novos contornos na filosofia da ciência, que é o problema do estatuto epistemológico das teorias científicas. Tendemos, por força do hábito, a acreditar que quando um físico enuncia que o mundo está composto por partículas e ondas de tamanho ínfimo essas entidades existem realmente, e são independentes de nossas teorias sobre como as coisas funcionam. Partículas e ondas existiam desde a origem do universo, os cientistas é que demoraram a descobri-las. Nessa visão realista, teorias científicas descrevem a estrutura da realidade tal como ela é em si mesma. No entanto, as coisas não são tão simples assim, pois algumas entidades postuladas por teorias científicas como certas partículas e suas propriedades são completamente inobserváveis, como os quarks. Mas se elas não podem ser observadas o que é que torna válida e verdadeira a afirmação de que essas entidades realmente existem?

Em relação às entidades inobserváveis, os antirrealistas sustentam uma posição agnóstica: nós não podemos afirmar a existência dessas entidades, mas apenas utilizá-las como instrumentos teóricos para derivar certas conclusões empíricas e dar conta de certos fenômenos. Um dos argumentos mais conhecidos contra a posição antirrealista é o chamado “argumento sem milagres” elaborado por Hilary Putnam (1926 – ). Segundo esse argumento, a posição realista é a única que não faz do sucesso da ciência um milagre. Já que muitas de nossas teorias científicas são construídas com hipóteses que envolvem a existência de entidades de inobserváveis e essas teorias são empiricamente bem sucedidas (elas explicam fenômenos e são capazes de prever eventos), temos um indício forte de que essas entidades realmente existem. O argumento do milagre apela para a noção de sucesso empírico; entretanto, como já observei anteriormente, dizer que uma teoria funciona não significa dizer que ela é verdadeira, ou seja, não significa que ela descreve adequadamente aquilo que realmente existe e como existe. Muitos exemplos na história da ciência são utilizados pelos antirrealistas para mostrar que teorias falsas se adaptavam bem aos dados e previam consequências empiricamente observáveis, a já citada teoria de Ptolomeu é um exemplo disso. Os realistas respondem dizendo que, se os dados empíricos fossem adaptáveis a uma variedade muito grande de teorias diferentes esse realmente seria um ponto a favor dos antirrealistas, entretanto, na maioria dos casos é difícil encontrar uma teoria que dê conta dos fenômenos observados e que podemos elaborar critérios para determinar quais são as teorias mais adequadas aos dados como o poder explicativo, o poder preditivo e a simplicidade da explicação, por exemplo.

O debate intenso entre realistas e antirrealistas mostra que de forma alguma podemos tratar dados científicos como sendo pura e simplesmente verdadeiros, considerando como um dado evidente que a ciência procede através de um método rigoroso e testa amplamente suas conclusões e por isso seus resultados nos mostram realmente o que as coisas são. Entre os filósofos envolvidos com este debate estão Bas Van Fraassen (1941 – ), Stathis Psillos(1965 – ), Ian Hacking(1936 – ) e muitos outros.

Há ainda outra ordem de problemas que concerne à questão sobre quais são as condições ontológicas de possibilidade de qualquer teoria científica. Todas as ciências naturais operam com conceitos como o de causalidade, de classe e de lei. Todas são possíveis graças a algum tipo de ordem e regularidade encontradas na natureza, assim como a possibilidade da inteligência humana de representar essa ordem e essa regularidade através de modelos teóricos, muitas vezes de caráter matemático. Essas condições são pressupostos das teorias científicas e, por isso mesmo, não podem ser explicadas por elas. A física usa abundantemente a matemática na mensuração e quantificação de processos naturais, mas uma teoria que explique como é possível quantificar um evento que em si mesmo não é feito de números (por exemplo, a mensuração da atividade das moléculas de um gás) já não é mais uma teoria física, mas uma espécie de metateoria que vai além da física. Do mesmo modo, explicar o que é causalidade, o que é uma lei científica e o que é uma classe é algo que vai além das ciências particulares e que transcende a todas elas na medida em que seus objetos constituem a base de qualquer ciência natural possível. São problemas como esses, de ordem metacientífica, que estão no âmbito da filosofia e que são objetos de uma disciplina bastante recente chamada de “metafísica da ciência”.

Quando se postula algo como a “lei da gravidade” ou a “lei da inércia”, o que devemos entender por isso? É uma simples regularidade que ocorre e poderia não ocorrer no futuro ou é algo que necessariamente tem de ser assim dadas certas condições ambientes? A prática preditiva da ciência parece indicar que as leis que estruturam os processos naturais são necessárias e universais, caso contrário, a predição não seria possível e não passaria de um belo chute. Entretanto, a partir de que tipo de observação ou teoria científica poderíamos validar os conceitos de necessidade e de universalidade, uma vez que qualquer observação se limita a um evento particular, espaço-temporalmente circunscrito? A investigação desse tipo de questão depende da elaboração de conceitos puramente abstratos e pressupõe que a ciência é mais do que um simples instrumento para manipular a realidade, pressupõe que ao menos alguns dos enunciados científicos dizem respeito a realidades independentes de nossas representações, numa palavra, a metafísica da ciência pressupõe algum nível de realismo científico e ela é uma disciplina filosófica desenvolvida em um espírito de colaboração com as diversas ciências naturais, dado que suas especulações não são feitas no vazio, mas sobre os dados fornecidos pelas teorias científicas. São muitos os filósofos que se dedicaram e ainda continuam se dedicando à metafísica da ciência como Michel Ghins, Alexander Bird, E.J. Lowe (1950 – 2014), Wolfgang Smith(1930 – ), Nancy Cartwright(1944 – ) e Tim Maudlin(1958 – ) para citar apenas alguns.

Portanto, longe de possuir a transparência que o senso comum lhe atribui, a prática científica levanta uma série de questões muito interessantes e complexas de cunho propriamente filosófico que ainda estão distantes de consensos substanciais. É evidente que o médico, o físico e o engenheiro nunca precisarão de um filósofo da ciência para lhes dizer o que fazer, mas também é verdade que uma compreensão adequada da própria teoria e prática científica, de seus limites e de suas possibilidades, é fundamental se quisermos entender verdadeiramente o que a ciência está nos dizendo sobre o mundo.

 

Gustavo Bravo é graduado em Filosofia pela Faculdade de São Bento do Rio de Janeiro e professor de filosofia no ensino médio.

Publicado originalmente no site da Revista Dicta&Contradicta 

O Infinito (podcast)

Epistemologia e Ciência | 24/03/2015 | | IFE CAMPINAS

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“Há um conceito que corrompe e altera todos os outros. Não falo do Mal, cujo limitado império é a Ética; falo do Infinito”, assim Jorge Luis Borges iniciava sua biografia do Infinito em Otras Inquisiciones. Oscilando entre os dois extremos do caos e da indefinição, por um lado, e da plenitude e da perfeição, por outro, a visão do infinito desperta o terror e o fascínio do coração humano desde as origens. Segundo o matemático David Hilbert, “nenhuma outra questão jamais moveu tão profundamente o espírito do homem; nenhuma ideia estimulou tão frutuosamente seu intelecto; ainda assim, nenhum conceito permanece tão necessitado de esclarecimento”. Por isso mesmo, o próprio Hilbert, referindo-se às especulações de seu colega Georg Cantor sobre o infinito, diria que “ninguém nos expulsará do paraíso que ele criou para nós”. Immanuel Kant, por sua vez, acreditava ter demonstrado por a + b que pela estrutura mesma da razão humana estamos condenados a sempre indagar e a jamais saber se o mundo é finito ou infinito. Já o poeta Giacomo Leopardi era taxativo: o infinito “é um parto da nossa imaginação, ao mesmo tempo da nossa pequeneza e da nossa soberba… um sonho, não uma realidade”, porque “não temos nenhuma prova da sua existência, sequer por analogia”. Para Descartes, contudo, era um fato insofismável que a ideia da perfeição infinita está inserida no mais íntimo do nosso ser, e por isso, deduziria Fichte, “o infinito aproximar-se do ‘sumo bem’ constitui o verdadeiro destino do homem”, “o sinal da nossa vocação à eternidade”. Não obstante, o senso comum continua a afirmar dia e noite que “tudo que é bom dura pouco”, e as ciências parecem comprovar que todas as coisas nesse mundo e nessa vida têm um fim – a começar por essa vida e por esse mundo… ou será que não?


Convidados

Alexandre Leone, rabino e professor do programa de pós-graduação de estudos judaicos e árabes da Faculdade de Filosofia da Universidade de São Paulo.

Fábio Bertato (membro do IFE Campinas), pesquisador do Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência da Universidade Estadual de Campinas e membro da Sociedade Brasileira de História da Matemática e da Sociedade Brasileira de Lógica.

João Cortese, mestre em História e Filosofia da Ciência pela Universidade Paris 7 e pesquisador de filosofia da matemática na Universidade de São Paulo.


Ouça este Podcast sobre o Infinito CLICANDO AQUI.


Referências

  • Uma Breve História do Infinito (Achilles in the Quantum Universe: The Definitive History of Infinity) de Richard Morris (Zahar).
  • Infinity. New Research Frontiers, editado por M. Heller e W.H. Woodin (Cambridge University Press).
  • “Infinito”, “Infinito categorematico e sincategorematico”, “Infinito matematico”, “Analise infinitesimal” e outros na Enciclopedia Filosofica Bompiani.
  • Breve storia dell’infinito de Paolo Zellini (Adelphi).
  • O Infinito no Pensamento da Antiguidade Clássica (L’infinito nel pensiero dell’antichità clássica) de Rodolfo Mondolfo (Editora Mestre Jou).
  • Everything and More: A Compact History of the Infinity de David Foster Wallace (W.W. Norton)
  • L’infinito: un equivoco millenario. Le antiche civilità del Vicino Oriente e le origini del pensiero greco de Giovanni Semerano (Mondadori).
  • To Infinity and Beyond: a Cultural History of the Infinity (Princenton University). 
  • Infinito, transfinito, finito de J.D. Garcia Bacca (Anthropos).
  • Do mundo fechado ao universo infinito (Du monde clos à l’Univers infini) de Alexandre Koyré (Forense Universitária).
  • Figures de l’infini. Les mathématiques au miroir des cultures de Tony Levy (Seuil).
  • Unendlich: eine Untersuchung zur metaphysischen Wesenheit auf Grund der Mathematik, Philosophie, Theologie de Anton Antweiler (Herder).
  • Totalidade e Infinito (Totalité et infini: essai sur l’extériorité) de Emmanuel Levinas (Edições 70).

Produção e apresentação
Marcelo Consentino

Produção técnica
Echo’s Studio

8 de dezembro de 2014

Link: http://oestadodaarte.com.br/o-infinito/

A energia escura e o destino do Universo (por Mario Livio)

Epistemologia e Ciência | 16/02/2015 | | IFE CAMPINAS

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Imagem de uma supernova


A composição do nosso Universo parece ser assaz estranha. Apenas 5% de toda a sua energia é feita de matéria conhecida – aqueles tipos de partículas que formam estrelas, planetas e pessoas. Cerca de 23% é “matéria escura”, possivelmente um tipo de partícula subatômica que nós ainda não identificamos em laboratório, mas cuja força gravitacional mantém as galáxias juntas. Os 72% restantes são ainda mais misteriosos: um tipo de “energia escura” que faz a expansão do Universo se acelerar.

Mas o que é esta energia escura? Sabemos que a sua densidade é praticamente constante no tempo e no espaço, mas não sabemos o que é de fato, e entender a verdadeira natureza dessa energia talvez seja o maior desafio da Física hoje.

A expansão cósmica

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Figura 1

Com centenas de bilhões de galáxias, o Universo observável é realmente grande, e vai ficando cada vez maior à medida que se expande. Mas nem todas as coisas do Universo estão em expansão: os átomos, as pessoas e mesmo as galáxias não estão. Com o passar do tempo, entretanto, o espaço entre galáxias distantes está cada vez maior.

A expectativa geral era de que a expansão cósmica diminuiria gradualmente, visto que as galáxias exercem a sua força gravitacional umas nas outras. Houve, portanto, uma imensa surpresa em 1998, quando duas equipes de astrônomos trabalhando independentemente anunciaram que a expansão estava na realidade ficando mais rápida. Ambas as equipes valeram-se da explosão das supernovas de tipo IA (ver figura 1). Essas explosões são tão brilhantes que podem ser vistas a uma distância de bilhões de anos-luz. A luz de um objeto que esteja, por exemplo, a cinco bilhões de anos-luz leva cinco bilhões de anos para chegar até nós; noutras palavras, observamos o Universo tal como ele era há cinco bilhões de anos. As supernovas foram encontradas mais longe do que se esperava para um Universo movido apenas pela inércia – o que indicava um sinal de aceleração.

A melhor explicação atual para a inesperada aceleração do Universo é a energia escura, uma forma de energia cuja densidade é praticamente ou talvez exatamente a mesma em toda a parte e sempre. Sua persistência proporcionaria uma força repulsiva constante ao Universo, acelerando assim a sua expansão.

Energia do vácuo?

A explicação mais aceita sobre a natureza da energia escura é a de que ela seria a energia do vácuo, uma energia perfeitamente uniforme presente nos espaços vazios em qualquer lugar do Universo. A autoria dessa idéia remonta a Einstein, que introduziu a “constante cosmológica” na sua Teoria da Relatividade Geral em 1917. Na época, os astrônomos pensaram que o Universo não estava nem em expansão nem em desaceleração, e ele então utilizou a constante cosmológica para compensar a atração gravitacional da matéria. Quando Edwin Hubble descobriu a expansão cósmica em 1929, Einstein percebeu que a constante cosmológica não era necessária e descartou o conceito, que viria depois a chamar (segundo o físico George Gamow) de “o seu mais crasso erro científico”.

A energia do vácuo não é um gás, um fluido ou qualquer outro tipo de substância; está mais para uma propriedade do espaço-tempo em si. É simplesmente a quantidade mínima de energia presente em qualquer região do espaço, a energia que permanece quando removemos todo o tipo de “tralha” daquela região. Na relatividade geral, essa quantidade pode ser positiva ou negativa, sem qualquer razão especial para ser zero.

O mundo microscópico obedece as leis da mecânica quântica, que proclamam que o nosso entendimento do estado de qualquer sistema envolve uma inevitável incerteza (o famoso princípio da incerteza de Werner Heisenberg). Os campos de energia, portanto, flutuarão mesmo no espaço vazio, uma vez que não podemos determinar que o espaço vazio possui zero de energia. Nessas “flutuações do vácuo”, partículas virtuais aparecem e desaparecem em frações de segundo. Tais partículas contribuem para a energia do vácuo, mas não são a sua única causa, uma vez que a relatividade geral permite-nos assumir uma energia do vácuo arbitrária sem levar em conta essas flutuações. Einstein com certeza não estava pensando em partículas virtuais quando concebeu a constante cosmológica.

Se a energia escura observada for realmente energia do vácuo, então será muito pouca: a quantidade dela dentro do volume da Terra não é maior que a média anual de consumo de eletricidade no Brasil. De fato, a energia escura observada está mais de cento e vinte ordens de grandeza abaixo das mais ingênuas estimativas para o seu valor.

Seria a quintessência?

Uma vez que a energia do vácuo parece ser diminuta, seria mais fácil inventar uma teoria que a considere nula do que uma que a reduz ao valor exato observado. Uma suposição é a de que a energia escura observada não é a energia do vácuo, mas alguma outra forma sutil que evolui lentamente.

Vários candidatos foram apresentados, mas nenhum parece ser completamente natural. Um dos favoritos é aquintessência, um campo invisível (similar aos campos eletromagnético e gravitacional) que muda lentamente à medida que o Universo se expande. Imagino que quando Universo tinha apenas frações de segundo de existência, talvez um tipo de campo similar à quintessência o tenha inflado, só que com muito mais energia. A energia que desencadeou a expansão acabou por tornar-se matéria e radiação, também em frações de segundo após o Big Bang.

Uma dos principais objetivos da cosmologia contemporânea é determinar se a energia escura é dinâmica como a quintessência ou algo estritamente constante como a energia do vácuo. A evolução da energia escura afetam diretamente a expansão cósmica, de modo que os cosmólogos vêm empenhando-se para mapear a história da expansão com o maior cuidado possível. Os limites da evolução da energia escura são freqüentemente postos em termos do “parâmetro de equação de estado”, simbolizados por w, que é a pressão da energia escura dividida pela densidade da sua energia. Se a energia escura é pura energia do vácuo invariável, a medida de w será exatamente igual a –1.

Um método óbvio para a mensuração do valor de w é continuar com a observação de supernovas tipo IA, só que com mais precisão e usando números de maior grandeza. Medidas futuras da radiação cósmica de fundo e das oscilações acústicas dos bárions – flutuações na distribuição comum da matéria que se manifestam no modelo em larga escala do Universo – também ajudarão a compreender a natureza da energia escura.

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Figura 2

Os cosmólogos também esperam usar a quantidade e a evolução dos conglomerados de galáxias como pontas de prova da expansão cósmica (ver figura 2). A história da expansão determina quantos conglomerados podem ser formados e quão grandes eles podem ser. Há gás quente nos conglomerados, e os astrônomos podem estudá-los diretamente por meio da emissão de raio-X do material. A temperatura do gás está intimamente relacionada com a massa do conglomerado. Conglomerados com muita massa podem reter gás muito quente, ao passo que o gás escapa dos conglomerados menores como vapor de uma chaleira. Com todos esses métodos diferentes, e talvez futuras missões espaciais, podemos esperar para os próximos anos uma maior riqueza de dados acerca da expansão cósmica.

O destino do Universo

Sabemos desde 1998 que Universo está se expandindo aceleradamente. Mas será que essa aceleração continuará para sempre? Em caso afirmativo, qual será o destino dos conglomerados de galáxias, das galáxias e das estrelas? A resposta a essas questões depende de um intrincado equilíbrio entre a geometria do Universo e as propriedades dessa forma sutil de energia, apelidada “Energia escura”, que permeia todo o espaço.

O papel da geometria

Num cosmo sem energia escura, a relatividade geral enuncia que o destino último do Universo é total e inequivocadamente determinado pela sua geometria [N.E.: aqui na revista impressa havia uma imagem ilustrativa “Figura 3”, mas não conseguimos recuperá-la]. Um Universo com curvatura positiva, como a superfície de uma esfera, acabará por implodir (tal Universo é dito fechado). Um Universo geometricamente plano (euclidiano) ou com curvatura negativa, como a superfície de uma sela, expande-se indefinidamente (trata-se de um Universo aberto).

A existência da energia escura complica consideravelmente a situação. Se ela é de fato a energia associada com o vácuo – uma possibilidade que se mostra consistente diante das últimas observações das supernovas, dos conglomerados de galáxias e da radiação cósmica de fundo –, então a sua densidade de energia permanece constante, ao passo que as densidades de energia tanto da matéria e a da radiação diminuem continuamente na medida em que o Universo se expande. Isso quer dizer que a energia escura começa a preponderar quando o Universo se torna suficientemente extenso. Para um parâmetro de equação de estado w = –1, caracterizando o vácuo, dá-se a dominância da energia escura independentemente do sinal da curvatura geométrica. Uma vez que a energia escura produz uma força repulsiva à gravidade, a expansão cósmica começa a se acelerar, tal como observamos hoje no nosso Universo.

Se a expansão do nosso Universo é regida pela energia do vácuo, então continuará a se acelerar, resultando eventualmente num desvio para o vermelho: todas as galáxias que estiverem mais distantes do que as duas dúzias que formam, aproximadamente, o nosso Grupo Local irão tão longe que não se poderá mais detectá-las. Noutras palavras, os astrônomos vivendo na Via Láctea daqui a 100 bilhões de anos não serão capazes de observar nenhuma galáxia fora do nosso Grupo Local. De fato, tais astrônomos (supondo que existam então) sequer serão capazes de observar a radiação cósmica de fundo, porque também ela sofrerá um desvio para o vermelho.

Tamanho isolamento cósmico e a morte final num “grande resfriamento” não é o pior dos possíveis destinos do Universo.

O “big rip” e outros destinos possíveis

Se a energia escura não for a energia do vácuo, mas em vez disso estiver associada a algum tipo de campo de quintessência, sendo caracterizada por um parâmetro de equação de estado w menor (mais negativo) que –1, então a densidade de energia da energia escura crescerá com o tempo. Nesse caso, quando a densidade da energia escura exceder a dos conglomerados de galáxias, estes desintegrar-se-ão. O mesmo destino terão as estrelas, os planetas, as pessoas, os átomos e mesmo os núcleos atômicos. Nenhuma estrutura sobreviverá à crescente densidade da energia escura. O Universo acabará naquilo que foi batizado de big rip (“o grande rasgo”).

Há possibilidades menos extremas relacionadas com a energia escura na forma de um campo escalar quando w é maior(menos negativo) que –1. Geralmente espera-se do campo escalar que diminua a sua energia potencial assim como uma bola de gude diminuiria a sua energia rolando pelas laterais de uma tigela, acabando por repousar quanto atingisse a sua energia potencial mínima. Nesse caso, o destino do Universo depende do valor desse mínimo de energia potencial. Num Universo como o nosso, onde apenas a matéria não é suficiente para torná-lo geometricamente plano, qualquer valor positivo causaria uma expansão acelerada, e o mesmo desvio para o vermelho ocasionado pela energia do vácuo aconteceria. Uma energia potencial mínima que é exatamente igual a zero asseguraria um novo domínio da matéria em algum ponto do futuro, e o Universo começaria a se desacelerar. Nesse caso, o destino será determinado pela geometria do Universo, como no caso de um Universo sem energia escura. Por fim, se a energia potencial mínima for negativa, acabará por ocorrer a implosão do Universo, não importando a sua geometria.

As complicações trazidas pela presença da energia escura são tamanhas que é essencialmente impossível determinar o destino do Universo a partir apenas de observações. Imaginemos, por exemplo, que no nosso Universo a densidade da energia escura fosse de apenas um trilionésimo da densidade da matéria – muitas ordens de grandeza abaixo de qualquer detecção. Ainda assim, após ele ter se expandido por um outro fator de dez mil, a energia escura transformar-se-ia na forma de energia dominante – aquela que selaria o  seu destino. Por conseguinte, não seremos capazes de conhecer o destino do nosso Universo com certeza até sermos capazes de complementar as observações com uma teoria confiável que nos permita entender a própria natureza e as propriedades específicas da energia escura.

Há ainda outro ponto digno de nota. A composição do Universo, com os seus 5% de matéria normal (bariônica), 23% de matéria escura e 72% de energia escura, parece ser bastante arbitrária. Assim, há físicos que pensam estarmos completamente equivocados. Talvez a energia escura não exista realmente; talvez as nossas teorias da gravidade e da relatividade geral não dêem conta das escalas cosmológicas. Algumas teorias alternativas da gravidade foram aventadas partindo-se dessa linha. Boa parte delas envolve dimensões extras, além das nossas três dimensões de espaço e uma de tempo. Até agora, não houve rachaduras experimentais ou observacionais na relatividade geral. Mas a experiência passada ensina-nos a sempre esperar o inesperado.

Mario Livio é astrônomo sênior e chefe do departamento de relações públicas do Space Telescope Science Institute, entidade responsável pelo programa do telescópio espacial Hubble. Publicou mais de 400 artigos científicos acerca de uma grande variedade de temas de Astrofísica, bem como quatro livros de divulgação, dos quais dois (Razão Áurea: a história de fi e A equação que ninguém conseguia resolver) já foram publicados no Brasil pela editora Record. O seu livro Is God a Mathematician? está prestes a ser publicado aqui pela mesma casa.

Tradução de Cristian Clemente.

***Texto originalmente publicado na revista-livro do IFE, Dicta&Contradicta, nº 4, Dez/2009. Disponível [online] no site da revista no link: http://www.dicta.com.br/edicoes/edicao-4/a-energia-escura-e-o-destino-do-universo/

**Fonte da imagem principal: NASA/ESA Uploaded by Metrónomo, “Hubble Space Telescope-Image of Supernova 1994D (SN1994D) in galaxy NGC 4526 (SN 1994D is the bright spot on the lower left)”. Link: http://en.wikipedia.org/wiki/Dark_energy#mediaviewer/File:SN1994D.jpg

**Fonte da Figura 1: NASA/CXC/Rutgers/J.Warren & J.Hughes et al. Link: http://it.wikipedia.org/wiki/Supernova_di_tipo_Ia#mediaviewer/File:Tycho-supernova-xray.jpg

**Fonte da Figura 2: NASA/WMAP Science TeamOriginal version: NASA; modified by Ryan Kaldari. Link: http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_expansion_of_space#mediaviewer/File:CMB_Timeline300_no_WMAP.jpg

A Filosofia da Matemática de Popper

Epistemologia e Ciência | 10/08/2014 | | IFE CAMPINAS

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O critério da demarcação de Popper claramente separa a matemática das ciências empíricas. Popper não desenvolveu de uma forma sistemática uma filosofia da matemática. Lakatos é considerado o representante da ampliação e aplicação da filosofia da ciência de Popper à matemática. Todavia, Popper deixou em seus escritos diversos trechos e ensaios dedicados ou relacionados à matemática que nos fornecem suas respostas a alguns problemas da filosofia da matemática. O objetivo do presente trabalho é apresentar sucintamente algumas de suas idéias que constituem o que podemos denominar Filosofia da Matemática de Popper. (Resumo)

Abstract: The criterion of demarcation of Popper clearly separates the mathematics of empirical sciences. Popper did not develop a philosophy of mathematics in a systematic form. Usually, Lakatos is considered the responsible for the application of the Popper’s philosophy of science to the mathematics. However, one can find in Popper’s writings his answers to some problems of the philosophy of mathematics. Our objective is to present briefly some of his ideas that constitute what we can call Popper’s Philosophy of Mathematics. Keywords: Popper, Philosophy of Mathematics, Criterion of Demarcation.

 1. Algumas considerações sobre Popper e sua Filosofia da Ciência

I.

Karl Raimund Popper nasceu em 28 de julho de 1902, em Viena. Estudou filosofia, matemática e física. Trabalhou na clínica de consulta infantil de Alfred Adler (1870 – 1937). Interessou-se por música e por sua história. Em 1928, doutorou-se em filosofia e um ano depois se habilitou para o ensino de matemática e de física na escola secundária, escrevendo, para o exame, uma tese sobre problemas da axiomática em geometria (incluindo um capítulo sobre geometria não-euclidiana). Devido à presença dos nazistas na Áustria, Popper transfere-se para a Nova Zelândia em 1937.

Popper publicou Logik der Forschung (“Lógica da descoberta científica”) em 1934, Poverty of Historicism em 1944 e 1945 e os volumes de Open Society and Its Enemies em 1945.

Em 1946, Popper transferiu-se para a Inglaterra, para lecionar na London School of Economics. Nesse período deu continuidade a seus estudos sobre filosofia e filosofia da ciência, resultando em duas obras: Conjectures and Refutations (1963) e Objective Knowledge (1972). Sua autobiografia intelectual (Unend Quest) e sua obra Replies to my Critics são de 1974. Juntamente com John Carew Eccles (1903 – 1997) publicou, em 1977, o livro The Self and its Brain. Faleceu em 17 de setembro de 1994.

II.

Podemos dizer que as teses centrais da epistemologia popperiana são constituídas pela crítica ao princípio de indução e pelo estabelecimento de um critério de demarcação da ciência.

O Problema da Indução (ou Problema de Hume) pode ser apresentado como a indagação sobre a validade de sentenças (ou enunciados) universais que encontrem base empírica. De acordo com uma visão indutivista, uma inferência é “indutiva” se ela conduz a enunciados universais (hipóteses e teorias) a partir de enunciados singulares ou particulares (observações ou experimentos). O indutivismo proclama que um cientista pode chegar a conclusões objetivas e intactas, apenas mediante registro, mensuração e descrição de seus achados, sem hipóteses ou expectativas prévias[1].

Popper é drástico. Para ele não existe método indutivo:

“Ora, está longe de ser óbvio, de um ponto de vista lógico, haver justificativa no inferir enunciados universais de enunciados singulares, independentemente de quão numerosos sejam estes; com efeito, qualquer conclusão colhida desse modo sempre pode revelar-se falsa: independentemente de quantos casos de cisnes brancos possamos observar, isso não justifica a conclusão de que todos os cisnes são brancos” (POPPER, 1974, p. 27).

Popper contesta a visão daqueles que aceitam que as ciências empíricas caracterizam-se pelo emprego dos “métodos indutivos”.

“Com rejeitar o método de indução, – poder-se-ia dizer – privo a ciência empírica daquilo que constitui, aparentemente, sua característica mais importante; isto quer dizer que afasto as barreiras a separar a ciência da especulação metafísica. Minha resposta a tal objeção é a de que a razão principal de eu rejeitar a Lógica Indutiva consiste, precisamente, em ela não proporcionar conveniente sinal diferençador do caráter empírico, não-metafísico, de um sistema teorético; em outras palavras, consiste em ela não proporcionar adequado ‘critério de demarcação’” (POPPER, 1974, p. 34).

Popper denomina Problema de Demarcação (ou Problema de Kant) o problema de estabelecer um critério que permita distinguir as ciências empíricas, a Matemática e a Lógica, e os sistemas “metafísicos”[2]. Popper considera os dois problemas como fontes de quase todos os problemas da epistemologia, sendo o último o mais importante. Seu critério de demarcação é aparentemente simples: uma teoria é científica se pode ser falseada (ou refutada) através da experiência.

“como empírico ou científico se ele for passível de comprovação pela experiência. Essas considerações sugerem que deve ser tomado como critério de demarcação, não a verificabiblidade, mas a falseabilidade de um sistema. Em outras palavras, não exigirei que um sistema científico seja suscetível de ser dado como válido, de uma vez por todas, em sentido positivo; exigirei, porém, que sua forma lógica seja tal que se torne possível validá-lo através de recurso a provas empíricas, em sentido negativo: deve ser possível refutar, pela experiência, um sistema científico empírico. (Assim, o enunciado ‘Choverá ou não amanhã’, não será considerado empírico, simplesmente porque não admite refutação, ao passo que será empírico o enunciado ‘Choverá aqui, amanhã’)” (POPPER, 1974, p. 42).

Esse critério de demarcação é ampliado contra possíveis objeções:

“(…) procurei definir a ciência empírica recorrendo ao auxílio do critério de falseabilidade; contudo, obrigado a admitir a procedência de certas objeções, prometi um suplemento metodológico à minha definição. Assim como o xadrez pode ser definido em função de regras que lhe são próprias, a Ciência pode ser definida por meio de regras metodológicas. Cabe proceder ao estabelecimento dessas regras de maneira sistemática. Coloca-se, de início, uma regra suprema, que serve como uma espécie de norma para decidir a propósito das demais regras e que é, por isso, uma regra de tipo superior. É a regra que afirma que as demais regras do processo científico devem ser elaboradas de maneira a não proteger contra o falseamento qualquer enunciado científico”  (POPPER, 1974, p.56).

Os dois problemas são tratados com profundidade especialmente em Logik der Forschung (POPPER, 1974) e em Conjectures and Refutations (POPPER, 1963).

O conhecimento científico é, para Popper, o melhor e mais importante tipo de conhecimento que a humanidade possui, porém não é o único. Para ele, as características centrais do conhecimento científico são:

1. O conhecimento científico inicia-se com problemas práticos e teóricos. Nossos sucessos em resolvê-los levam a novos problemas.
2. O conhecimento consiste na busca pela verdade – a busca pelo objetivamente verdadeiro, por teorias explicativas.
3. Não é busca da certeza. Todo conhecimento humano é falível. O conhecimento científico é sempre hipotético, conjectural. O método da ciência é o método crítico: busca do erro e sua eliminação (cf. POPPER, 2000, p.3-5).

2. Conhecimento Objetivo e o Terceiro Mundo

I.

Popper defende a existência de dois tipos de conhecimento, o subjetivo (que depende das disposições dos organismos, de um sujeito que conhece) e o objetivo (que consiste do conteúdo lógico de nossas teorias, conjecturas etc.). Exemplos de conhecimento objetivo são as teorias publicadas em revistas científicas e em livros de uma biblioteca; discussões de tais teorias; dificuldades ou problemas conectados com tais teorias, etc.(cf. POPPER, 1972b, p. 73).

Segundo Popper, podemos distinguir três mundos ou universos:

Primeiro Mundo (W1): o mundo de objetos físicos ou de estados materiais.

Segundo Mundo (W2): o mundo de estados de consciência ou estados mentais, disposições comportamentais para agir.

Terceiro Mundo (W3): o mundo de conteúdos objetivos de pensamento, especialmente de pensamentos científicos, poéticos e de obras de arte.

Portanto, os conhecimentos subjetivos e objetivos são, respectivamente, habitantes de W2 e W3. Vejamos dois exemplos de conhecimento, um subjetivo e outro objetivo:

Ex. 1 – Sei que a conjectura de Goldbach não foi provada, mas creio que será provada algum dia.

Ex. 2 – Levando em consideração o estado atual do conhecimento metamatemático, parece possível que a conjectura de Goldbach seja indecidível.

Para Popper, o Ex. 1 é um conhecimento de W2 e o Ex. 2 é um conhecimento de W3. Popper defendia que uma epistemologia concentrada em W2, ou no conhecimento subjetivo, é irrelevante para o estudo do conhecimento científico.

Popper considera-se um realista, “um tanto como um realista ingênuo”, e sugere a existência de W1 e W2 e que estes dois interagem. Como argumento acerca da existência (mais ou menos) independente de W3, consideremos duas experiências de pensamento:

Experiência 1: Todas as nossas máquinas e equipamentos são destruídos, bem como todo o nosso aprendizado subjetivo, incluindo nosso conhecimento subjetivo de máquinas e equipamentos e de como usá-los. Permanecendo bibliotecas e nossa capacidade de aprender com elas.

Experiência 2: Todas as nossas máquinas e equipamentos são destruídos, bem como todo o nosso aprendizado subjetivo, incluindo nosso conhecimento subjetivo de máquinas e equipamentos e de como usá-los. Todas as bibliotecas também são destruídas e nossa capacidade de aprender com os livros permanece.

Popper argumenta que na situação da Experiência 1, depois de muito sofrimento, nosso mundo poderia continuar a seguir em frente e na situação da Experiência 2, não haveria reaparecimento da civilização por muitos milênios. Nossa capacidade de aprender com os livros se tornaria inútil (cf. POPPER, 1972b, p. 106-108). Popper defende que W3 é um produto natural do animal humano, é amplamente autônomo e através de nossa interação com ele é que o conhecimento objetivo cresce. Grande parte do terceiro mundo objetivo de teorias efetivas e em potencial e de publicações e argumentos surge como um subproduto não pretendido das publicações e argumentos produzidos efetivamente. O conteúdo de livros, não sua forma física, pertence a W3 (POPPER, 2000, p. 22).

II.

A idéia de autonomia é central na teoria de W3, embora seja uma criação humana, este mundo cria por sua vez seu próprio domínio de autonomia. Segundo Popper, os exemplos que mostrem que W3 é autônomo são incontáveis:

“Talvez os [exemplos] mais impressionantes, e de qualquer modo os que deveríamos conservar em mente como os nossos padrões de exemplos, podem ser encontrados na teoria dos números naturais. / Diversamente de Kronecker, concordo com Brouwer em que a seqüência dos números naturais é uma construção humana. Mas, embora criemos essa seqüência, ela por sua vez cria seus próprios problemas autônomos. A distinção entre números ímpares e pares não é criada por nós: é uma conseqüência não pretendida e inevitável de nossa criação. Os números primos, sem dúvida, são fatos autônomos e objetivos similarmente não pretendidos; e em seu caso é óbvio que há aí, para nós, muitos fatos a descobrir: há conjecturas como a de Goldbach. E essas conjecturas, embora se refiram indiretamente a objetos de criação nossa, referem-se diretamente a problemas e fatos que de algum modo emergiram de nossa criação e que não podemos controlar ou influenciar: são fatos árduos e a verdade a seu respeito é muitas vezes de árduo descobrimento” (POPPER, 1975, p. 119-120).

A autonomia de W3 é parcial: os novos problemas levam a novas criações ou construções e podem acrescentar novos objetos a W3. E estes criarão novos fatos não pretendidos, novos problemas inesperados ou novas refutações. Há, portanto, um importante efeito de feed-back de W3 sobre W2.

O exemplo dos números naturais, além de exemplificar o que Popper entende por autonomia, nos diz que objetos aritméticos são habitantes de W3. As maiores criações dos seres humanos são, para Popper, as funções mais altas da linguagem humana, a função descritiva e a função argumentativa. Com a função descritiva emerge a idéia reguladora de verdade, isto é, de uma descrição que se ajusta aos fatos. A função argumentativa critica as descrições do ponto de vista das idéias reguladoras de verdade, de conteúdo e de verossimilitude. Popper considera o método de construção de uma seqüência interminável de numerais como uma das maiores invenções que foram possíveis apenas pela invenção da linguagem e seu desenvolvimento. As instruções para tal construção podem ser formuladas linguisticamente ou em um programa de computador, podendo ser descrita como algo concreto. Mas a descoberta de séries de números naturais infinitas (como a de primos) é algo totalmente abstrato, um produto de W3 (POPPER, 2000, p. 23).

O Terceiro Mundo de Popper é então objetivo, abstrato, autônomo, real e efetivo. Popper reconhece que W3 tem muito em comum com a teoria de Formas e idéias de Platão, com o espírito objetivo de Hegel, com a teoria de um universo de proposições em si mesmas e verdades em si mesmas de Bolzano, apesar das diferenças. Considera, porém, que W3 se assemelha mais de perto ao universo de conteúdos objetivos de pensamento de Frege (cf. POPPER, 1975, p. 108).

3. A matemática segundo Popper

I.

Em sua conferência intitulada “Science and Criticism” [3], realizada em 1974, Popper inicia tratando de algumas observações acerca do desenvolvimento da matemática, especificamente do logicismo, do formalismo, do intuicionismo e seus representantes. Popper afirma que, enquanto estudante, foi fortemente influenciado pelo matemático Hans Hahn, que por sua vez foi muito influenciado pela Principia Mathematica de Russell e Whitehead.   Com relação às conseqüências dos teoremas de Gödel e de Tarski afirma (tradução nossa):

“Mas este foi, de fato, o início do fim – o fim, isto é, destas três escolas de pensamento. Em minha opinião, também anunciou o início de uma nova filosofia da matemática. (…) Muitas teorias matemáticas são, como as da física ou biologia, hipotético-dedutivas: logo a matemática pura torna-se bem mais próxima das ciências naturais, cujas hipóteses são conjecturas, do que aparentava, mesmo recentemente” (POPPER, 2000, p. 56).

 Popper destaca a importância da intuição para o desenvolvimento de nossas teorias, citando Gödel que se baseou sobre a intuição e a imaginação matemática, colocando-as sempre à luz do exame racional.

II.

Popper faz uma apreciação e crítica da epistemologia de Brouwer em sua obra Objective Knowledge (cf. POPPER, 1975, p. 129, & 1972b, p. 128). Popper critica a doutrina de que a intuição é fonte infalível de conhecimento. Segundo ele, não há fontes autorizadas de conhecimento e nenhuma fonte é particularmente digna de fé e que a verdade está acima da autoridade humana (cf. POPPER, 1963, p. 29). Entende intuição como produto de nosso desenvolvimento cultural e de nossos esforços em pensamento discursivo.

“A idéia de Kant de um tipo padrão de intuição pura compartilhado por todos nós (talvez não por animais, apesar de um equipamento perceptual similar) dificilmente pode se aceita. Pois, após nos havermos adestrado em pensamento discursivo, nossa apreensão intuitiva torna-se extremamente diferente do que era antes” (POPPER, 1975, p. 134).

 Popper afirma que Brouwer estava certo ao reagir contra a tese de que a matemática é um jogo de linguagem formal, ou seja, de que não há objetos matemáticos extralingüísticos (ou conteúdos de pensamento). Mas isto não significa que podemos construir a matemática sem linguagem, sem constante controle crítico. Não pode haver crítica sem pôr as construções em forma lingüística e tratá-las como objetos de W3.

“Embora o terceiro mundo não seja idêntico ao mundo de formas lingüísticas, ele surge juntamente com a linguagem. Isto explica por que, desde que nossas construções se tornem problemáticas, sistematizadas e axiomatizadas, a linguagem pode tornar-se também problemática, e por que a formalização pode tornar-se um ramo da construção matemática” (POPPER, 1975, p. 136).

Os objetos matemáticos são, para Popper, conhecimentos objetivos, cidadãos de W3. Como vimos, embora os conteúdos de pensamento sejam produtos humanos, levam consigo suas próprias conseqüências não pretendidas (ex. invenção: números naturais; descoberta: números primos). Os cidadãos mais férteis de W3 são os problemas e novos argumentos críticos. Surge um novo tipo de existência matemática: a existência de problemas. Também um novo tipo de intuição: a intuição que nos faz ver problemas e nos faz compreender problemas antes de resolvê-los.

III.

Podemos dividir as reflexões sobre a matemática em duas filosofias da matemática (cf. POPPER, 2000, p. 25):

1 – A matemática é obra da espécie humana. Criação feita baseada em nossa intuição; ou é nossa construção; ou é nossa invenção. (Intuicionismo; construtivismo; convencionalismo).

2 – A Matemática existe objetivamente e é independente da espécie humana. É um campo de verdades objetivas, não criadas e sim confrontadas por nós. Podemos descobrir algumas dessas verdades. (Platonismo).

Segundo Popper, essas duas filosofias opunham-se uma à outra até a teoria de W3 mostrar que ambas podem estar certas em algum sentido. A matemática é obra nossa e adquire autonomia e, como obra nossa, é falível.

IV.

Sobre a aplicação da matemática à realidade, Popper escreveu um ensaio intitulado “Why are the calculi of Logic and Arithmetic applicable to Reality?” (POPPER, 1963, p. 201).

Por que os cálculos lógicos (cálculo proposicional, de primeira ordem, etc.) – que podem conter a aritmética – são aplicáveis à realidade?

Popper dá três respostas:

1 – Os cálculos lógicos como uma regra são sistemas semânticos, isto é, linguagens projetadas com a intenção de serem utilizadas para a descrição de certos fatos. Se eles servem para tal propósito então não há surpresa em aplicá-los à realidade.

 O desenvolvimento da matemática, que é em certo sentido o desenvolvimento artificial de certas partes de nossas linguagens ordinárias, mostra que com novos significados lingüísticos novos tipos de fatos podem ser descritos. O uso de um cálculo aritmético só permite descrever relações que simplesmente não existiriam sem ele (POPPER, 1963, p. 213).

2 – Os cálculos lógicos são projetados de uma maneira que não servem para o propósito de descreverem certos fatos.

A aritmética dos números naturais (ou dos números reais) serve para descrever certos fatos, outros não (POPPER, 1963, p. 211).

3 – Um cálculo aplicado à realidade perde o caráter de cálculo lógico e torna-se uma teoria descritiva que pode ser empiricamente refutável. Se o cálculo é considerado irrefutável não é aplicável à realidade.

Consideremos a proposição ‘2 + 2 = 4’. Se a aplicamos à maçãs, ‘2 maçãs + 2 maçãs = 4 maçãs’ pode ser considerada irrefutável e logicamente verdadeira. Porém, esta asserção não descreve fato envolvendo maçãs e a aplicação à realidade seria só aparente (significa que uma forma de descrever a realidade é equivalente à outra).

Se a sentença ‘2 + 2 = 4’ serve para calcular, isto é, para descrever certos fatos físicos (e o símbolo ‘+’ representa uma manipulação física), então a interpretação de ‘2 + 2 = 4’ torna-se uma teoria física e, portanto, refutável (POPPER, 1963, p. 211).

Conclusões

Mesmo com a ausência de uma apresentação exclusiva e sistemática de uma filosofia da matemática de Popper, parece razoável detectar em seus escritos algumas respostas dadas a problemas concernentes ao tema. Através de sua epistemologia e de sua tese de um “terceiro mundo”, podemos considerar que o conhecimento matemático é um conhecimento objetivo, que a matemática é uma criação humana e pertence à espécie de conhecimento mais nobre e importante. Segundo sua concepção de verdade, distinta de certeza, o conhecimento matemático pode ser considerado conjectural (especialmente as hipótese ou axiomas de uma teoria matemática), uma verdade incerta. Com relação à aplicabilidade da matemática à realidade, Popper dá respostas que dependem do significado de “realidade” e “aplicação”. Podemos ampliar uma de suas respostas a toda a matemática: o uso de uma teoria matemática só permite descrever relações que simplesmente não existiriam sem ela.

Bibliografia

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Notas

[1] Francis Bacon (1564-1626) foi o principal promotor do indutivismo e Liebig (1863) foi o primeiro cientista de destaque que o criticou como método científico (cf. POPPER, 1974, p 31, n5 e MAYR, 1998, p. 45).

[2] Popper difere dos positivistas que desejavam não tanto uma boa demarcação e sim a “derrubada total e aniquilação” da Metafísica.

[3] Em comemoração pelo aniversário do chamado Alpbach European Forum, cujo tema era o desenvolvimento intelectual e científico dos trinta anos anteriores (POPPER, 2000, p. 52).

Autor: Fábio Bertato (CLE/Unicamp/Brasil | IFE Campinas)

* O artigo foi publicado originalmente na Revista Brasileira de História da Matemática – Vol. 10 n. 20 (outubro/2010-março/2011 ) – págs. 213-221 (Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da Matemática – ISSN 1519-955X) e está disponível [online] aqui, no site da RBHM: http://www.rbhm.org.br/issues/RBHM%20-%20vol.10,%20no20,%20outubro%20(2011)/6-%20F%C3%A1bio%20-%20Final.pdf